EJERCICIOS DE HIPOTESIS ESTADISTICAS

Una empresa está interesada en lanzar un nuevo producto al mercado. Tras realizar una campaña publicitaria, se toma la muestra de 1 000 habitantes, de los cuales, 25 no conocían el producto. A un nivel de significación del 1% ¿apoya el estudio las siguientes hipótesis?

• a. Más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.
• b. Menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto

Datos:

n = 1000

x = 25

Donde:

x = ocurrencias

n = observaciones

= proporción de la muestra

= proporción propuesta

Solución:

a)

a = 0,01 

H0 es aceptada, ya que zprueba (-0,93) es menor que ztabla (2,326), por lo que no es cierto que más del 3% de la población no conoce el nuevo producto.

b)

a = 0,01 

H0 es rechazada, ya que zprueba (1,13) es menor que ztabla (2,326), por lo que es cierto que menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto.

2) Cuando las ventas medias, por establecimiento autorizado, de una marca de relojes caen por debajo de las 170,000 unidades mensuales, se considera razón suficiente para lanzar una campaña publicitaria que active las ventas de esta marca. Para conocer la evolucion de las ventas, el departamento de marketing realiza una encuesta a 51 establecimientos autorizados, seleccionados aleatoriamente, que facilitan la cifra de ventas del último mes en relojes de esta marca. A partirde estas cifras se obtienen los siguientes resultados: media = 169.411,8 unidades., desviación estándar = 32.827,5 unidades. Suponiendo que las ventas mensuales por establecimiento se distribuyen normalmente; con un nivel de significación del 5 % y en vista a la situación reflejada en los datos. ¿Se considerará oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria?

Datos:

n = 51

Solución:

H0: ( = 170000

H1: ( < 170000

a = 0,05 

Se rechaza Ho, porque zprueba (-0,12) es menor que ztabla (1,645), por lo tanto se acepta H1: ( < 170000, y se debe considerar oportuno lanzar una nueva campaña publicitaria.

b)

a = 0,01 

H0 es rechazada, ya que zprueba (1,13) es menor que ztabla (2,326), por lo que es cierto que menos del 2% de la población no conoce el nuevo producto.

3) Un Gerente de ventas de libros universitarios afirma que en promedio sus representantes de ventas realiza 40 visitas a profesores por semana. Varios de estos representantes piensan que realizan un número de visitas promedio superior a 40. Una muestra tomada al azar durante 8 semanas reveló un promedio de 42 visitas semanales y una desviación estándar de 2 visitas. Utilice un nivel de confianza del 99% para aclarar esta cuestión.

Datos:

( = 40

n = 8

Nivel de confianza del 99%

Nivel de significación = (100%-99%)/2 = 0,5% = 0,005

Solución:

H0: ( = 40

H1: ( > 40

Grados de libertad: n-1 = 8-1 =7

a = 0,005 

H0 es aceptada, ya que tprueba (2,83) es menor que ttabla (3,499), por lo que no es acertado pensar que están realizando un número de visitas promedio superior a 40.

TIPOS DE HIPÓTESIS ESTADISTICAS

Hipótesis nula y alternativa
La prueba de hipótesis empieza con algo de teoría, afirmación o negación con respecto a un parámetro particular de una población. La hipótesis de que el parámetro de la población es igual a la especificación de la compañía se conoce como hipótesis nula. Una hipótesis nula es siempre una de status que o de no diferencia. Se simboliza con el símbolo Ho.
Siempre que especificamos una hipótesis nula, también debemos especificar una hipótesis alternativa, o una que debe ser verdadera si se encuentra que la hipótesis nula es falsa. La hipótesis alternativa se simboliza H1. La hipótesis alternativa representa la conclusión a la que se llegaría si hubiera suficiente evidencia de la información de la muestra para decidir que es improbable que la hipótesis nula sea verdadera, y por tanto rechazarla. El hecho de no rechazar la hipótesis nula no es una prueba de que ésta sea verdadera. Nunca podemos probar que tal hipótesis sea correcta porque estamos basando nuestra decisión únicamente en la información de la muestra, no en la población entera.
Resumen:

• La hipótesis nula se refiere siempre a un valor especificado del parámetro de población, no a una estadística de muestra.
• El planteamiento de la hipótesis nula siempre contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro.
• El planteamiento de la hipótesis alternativa nunca contiene un signo de igualdad con respecto al valor especificado del parámetro.

Regiones de rechazo y de no rechazo
La distribución de muestreo de la estadística de prueba se divide en dos regiones, una región de rechazo (conocida como región crítica) y una región de no rechazo. Si la estadística de prueba cae dentro de la región de no rechazo, no se puede rechazar la hipótesis nula.
La región de rechazo puede considerarse como el conjunto de valores de la estadística de prueba que no tienen posibilidad de presentarse si la hipótesis nula es verdadera. Por otro lado, estos valores no son tan improbables de presentarse si la hipótesis nula es falsa. El valor crítico separa la región de no rechazo de la de rechazo.
Riesgos en la toma de decisiones al utilizar la metodología de prueba de hipótesis.
Se pueden presentar dos tipos diferentes de errores:

• Un error tipo I se presenta si la hipótesis nula es rechazada cuando de hecho es verdadera y debía ser aceptada.
• Un error tipo II se presenta si la hipótesis nula es aceptada cuando de hecho es falsa y debía ser rechazada.

Nivel de Significación. La probabilidad de cometer un error tipo I denotada con la letra griega alfa, se conoce como nivel de significación de la prueba estadística. Está bajo el control directo del individuo que lleva a cabo la prueba. Ya que se ha especificado el valor de alfa, se conoce el tamaño de la región de rechazo, puesto que alfa es la probabilidad de un rechazo de la hipótesis nula.

Coeficiente de confianza. EL complemento ( 1-a ) de la probabilidad de cometer un error de tipo I se conoce como coeficiente de confianza.
El coeficiente de confianza es la probabilidad de que la hipótesis nula no sea rechazada cuando de hecho es verdadera y debería ser aceptada.

Riesgo b . La probabilidad de cometer un error de tipo II se conoce como nivel de riesgo del consumidor. A diferencia del error tipo I, en el cual las pruebas estadísticas nos permiten controlar nuestra elección de a , la probabilidad de cometer un error del tipo II depende de la diferencia entre los valores supuesto y real del parámetro de población. Como es más fácil encontrar diferencias grandes, si la diferencia entre la estadística de muestra y el correspondiente parámetro de población es grande, b la probabilidad de cometer un error del tipo II, probablemente sea pequeña.

Potencia de una prueba. El complemento (1-b ) de la probabilidad de cometer un error del tipo II se conoce como potencia de una prueba estadística.
La potencia de una prueba es ña probabilidad de rechazar la hipótesis nula cuando de hecho esta es falsa y debería ser rechazada.

Una manera en que podemos controlar la probabilidad de cometer un error del tipo II en un estudio, consiste en aumentar el tamaño de la muestra. Tamaños más grandes de muestra, nos permitirán detectar diferencias incluso muy pequeñas entre las estadísticas de muestra y los parámetros de la población. Cuando se disminuye a , b aumentará de modo que una reducción en el riesgo de cometer un error de tipo I tendrá como resultado un aumento en el riesgo de cometer un error tipo II.

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